civil-tec-tepic - Definición y Algunas Series de Taylor de Funciones básicas

Definicion:

L serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos a, es la serie de potencias:

que puede ser escrito de una manera más compacta como

$f(x) = sum_{n=0}^{infin} frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n},,$

donde n! es el factorial de n y f ⁽ⁿ⁾(a) denota la n-ésima derivada de f en el punto a; la derivada cero de f es definida como la propia f y $(x-a)^0$ y $0!$ son ambos definidos como uno.

Cabe destacar que en una serie de Taylor de potencias centrada en "a" de la forma $sum^{}_{}a_n(x-a)^n$ siempre se puede hacer el cambio de variable $z=x-a$ (con lo que $x=z+a$ en la función a desarrollar original) para expresarla como $sum^{}_{}a_nz^n$ centrada en 0. Luego hay que deshacer el cambio de variable. Por ejemplo, si se quiere desarrollar la función $F(x)=xlnx$ alrededor de a=1 podemos hacer $z=x-1$ y ahora solo tendríamos que desarrollar $F(z+1)=(z+1)ln(z+1)$ centrado en 0.

Series de Maclaurin (Taylor alrededor de 0) notables

A continuación se enumeran algunas series de Taylor de funciones básicas. Todos los desarrollos son también válidos para valores complejos de x.

Función exponencial y logaritmo natural

$e^{x} = sum^{infin}_{n=0} frac{x^n}{n!}quad, forall x; n in mathbb{N}_0$

$ln(1+x) = sum^{infin}_{n=1} frac{(-1)^{n+1}}n x^nquadmbox{, para } left| x right| < 1$

Serie geométrica
$frac{1}{1-x} = sum^{infin}_{n=0} x^nquadmbox{ para } left| x right| < 1$
Teorema del binomio

$(1+x)^alpha = sum^{infin}_{n=0} frac{Gamma(alpha+1)}{Gamma(n+1)Gamma(n-alpha)} x^nquad$ para $left| x right| < 1quad$

y cualquier $alphaquad$ complejo

Funciones trigonométricas

$sin x = sum^{infin}_{n=0} frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}quad, forall x$

$cos x = sum^{infin}_{n=0} frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}quad, forall x$

$tan x = sum^{infin}_{n=1} frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}quad, mbox{ para } left| x right| < frac{pi}{2}$

Donde B_s son los Números de Bernoulli.

$sec x = sum^{infin}_{n=0} frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}quadmbox{, para } left| x right| < frac{pi}{2}$

$csc{x}=sum_{n=1}^infty{frac{2(2^{2n-1}-1)B_{n}x^{2n-1}}{(2n)!}}quadmbox{, para } 0<left |{x}right |< pi$

$arcsin x = sum^{infin} frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}quadmbox{, para } left| x right| < 1$

$arctan x = sum^{infin} frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}quadmbox{, para } left| x right| < 1$

Funciones hiperbólicas

$sinh x = sum^{infin}_{n=0} frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}quad , forall x$

$cosh x = sum^{infin}_{n=0} frac{1}{(2n)!} x^{2n}quad , forall x$

$tanh x = sum^{infin}_{n=1} frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}quadmbox{, para } left| x right| < frac{pi}{2}$

$sinh^{-1} x = sum^{infin}_{n=0} frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}quadmbox{, para } left| x right| < 1$

$tanh^{-1} x = sum^{infin}_{n=0} frac{1}{2n+1} x^{2n+1}quadmbox{, para } left| x right| < 1$

Función W de Lambert

$W_0(x) = sum^{infin}_{n=1} frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^nquadmbox{, para } left| x right| < frac{1}{e}$

Los números B_k que aparecen en los desarrollos de tan(x) y tanh(x) son Números de Bernoulli. Los valores C(α,n) del desarrollo del binomio son los coeficientes binomiales. Los E_k del desarrollo de sec(x) son Números de Euler.