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Radio De Convergencia

En matemáticas, según el teorema de Cauchy-Hadamard, el radio de convergencia de una serie de la forma $sum_{n=0}^infty a_n(x-x_0)^n$ , con $a_n,x,x_0inmathbb{R}$ , viene dado por la expresión: $R = frac{1}{lim_{n to infty} left | frac{a_{n+1}}{a_n} right |}$

Definicion:

Si nos limitamos al conjunto de los números reales, una serie de la forma $sum_{n=0}^infty a_n(x-x_0)^n$ , con $a_n,x,x_0inmathbb{R}$ , recibe el nombre de serie de potencias centrada en $x_0$ . La serieconverge absolutamente para un conjunto de valores de $x$ que verifica que $|x-x_0|<r$ , donde r es un número real llamado radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de $x$ pertenecientes al intervalo $(x_0-r,$ $x_0+r)$ , ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o cerrado. Si la serie converge solo para $x_0$ , $r=0$ . Si lo hace para cualquier valor de $x$ , $r=$ $infty ,!$ .

Ejemplos:

Mostraremos el radio de convergencia de algunos desarrollos en series de potencias con sus respectivos radios de convergencia sin justificar porqué el radio de convergencia es el dado .

Radio De Convergencia finito:

La función $1/(1-x)$ en su desarrollo con centro 0, o sea, en series de potencia $x-x_0=x-0=x$ , tiene el siguiente aspecto:

$frac{1}{1-x}=sum_{n=0}^infty x^n=1+x+x^2+x^3+...$ .

(para el cálculo de la serie vea serie de Taylor). Su radio de convergencia es $r=1$ . Eso significa que para calcular si tomo cualquier valor cuya distancia al $x_0=0$ es menor que $r=1$ , por ejemplo el $x=0.25$ , entonces al remplazarlo en la serie el resultado de calcular la serie será el mismo que remplazarlo en la función, de hecho

$sum_{n=0}^infty 0.25^n=1+0.25+0.25^2+0.25^3+...=frac{4}{3}$ .

(la cuenta se puede hacer por serie de potencia). Y por otro lado

$frac{1}{1-0.25}=frac{1}{1-frac{1}{4}}=frac{4}{3}$ .

Pero si tomamos un elemento fuera del radio de convergencia, por ejemplo el $x=2$ , los más probable es que al remplazarlo en la serie, ésta diverja (por eso el nombre de radio de convergencia). Efectivamente:

$sum_{n=0}^infty 2^n=1+2+2^2+2^3+...=infty$ .

Distancia a la Singularidad

El cálculo del radio de convergencia no es simple. Veamos una función con dos desarrollos en serie con distintos centros y analicemos sus radios de convergencia. La misma función $1/(1-x)$ en su desarrollo con centro $x_0=3$ tiene la forma:

$frac{1}{1-x}=-frac{1}{2}+frac{x-3}{4}-frac{(x-3)^2}{8}+frac{(x-3)^3}{16}-...$ .

Pero en este caso su radio de convergencia es $r=2$ . Notemos que la función $1/(1-x)$ tiene una singularidad en el 1; y que en los dos caso anteriores el radio de convergencia coincide con la distancia del centro a la singularidad: $|0-1|=1$ y $|3-1|=2$ . Esto será siempre verdadero para ésta función, pero, no puede generalizarse, como veremos en el siguiente ejemplo:

$frac{1}{1+x^2}=frac{1}{2}-frac{x-1}{2}+frac{(x-1)^2}{4}-frac{(x-1)^4}{8}+frac{(x-1)^5}{8}-...$

Como no hay singularidades reales podría suponerse que el radio es infinito, sin embargo su radio de convergencia es $r=sqrt{2}/2$ . Este radio parece caprichoso pero tiene que ver con el hecho de que pasando la función a dominio complejo, existe una singularidad en el denominador.

Radio de Convergencia Infinito

Por ejempo, la función $e^{x}$ puede desarrollarse en series de potencia de $x-0=x$ , de hecho $e^{x}=sum_{n=0}^infty x^n/n!=1+x+frac{x^2}{2!}+frac{x^3}{3!}+...$ .

y esto vale para todo real $x$ por eso el radio de convergencia será infinito.